２．因数分解
１.因数分解とは何か？
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜因数分解は展開の逆＞A
展開(expand)は、
多項式×多項式を計算して
１つの多項式に整理することでした。
（例）
因数分解(factorization)は、
展開の逆で多項式を
多項式×多項式（因数×因数）の形に分解すること。
（例）A
因数分解は、
整数の素因分解と同様に、もとの数の範囲で分解できるところまでやります。
・４乗は２乗の２乗としてみることができる。
６乗は３乗の２乗か２乗の３乗に直そう。
マイナスA３乗はマイナスAの３乗に直せる。
・マイナスｘの２乗はプラスｘ２乗。
・文字は指数に着目して、
数は平方数、立方数に着目しよう。
・式の展開と同様に
１文字整理、
共通因数を置き換える。
２乗の差は和差の積
など乗法公式を利用しよう。
（例）A
2.因数分解の基本公式
＜２項式の積に分解しよう＞A
平方数2個と2文字の積の2倍は、和の平方。
・
・
（例）A
「x2+8x+16の因数分解」は？
8=2･4、42=16からb＝+4。(x+4)2
２乗の差は和差の積
・
（例）A
「4x2-81y2の因数分解」は？
４も81も平方数なので2乗形にしておく。
4x2-81y2=(2x)2-(9y)2=(2x+9y)(2x-9y)
「和と積からの逆算」
降べきの順に、係数が「1⇒和⇒積」
となる２つの１次式の定数項 a,bをさがす。
（和が負ならa,bの片方か両方が負）
・
（例）A
「x2-5x-24の因数分解」は？
和が負、積が負だから、積を負が強い正と負の約数に分解する。
24=3・8, 8-3=5から、
８を負にする。
(x-8)(x+3)
（一般化）A
a,bが同符号なら定数abは正、1次の係数(a+b)は符号に一致する。
a,bが異符号なら定数abは負、
1次の係数(a+b)はaかbの絶対値の大きい方と同符号であり、絶対値がaとbの差に等しい。
「いわゆる、たすきがけ」
降べきの順に、係数が「ac⇒たすきがけ⇒bd」
となるように、展開前の(ax+b)(cx+d)に戻す。
acの約数ペアとbdの約数ペアのたすきがけ（ad+bc）は、
1次の係数と定数の積（adとbc）の和で、1次の係数に一致するまで書き出そう。
・
（例）A
「6x2+13x+5の因数分解」は？
a,cともに正とするとき、
ad+bc, bdの両方が正だからb,dはともに正。
bd=5の約数ペアは１と５だから、(□x＋1)(△x ＋5)としよう。
ac=6の約数ペアは１と６か２と３だから、次の4通りを試せばいいね。
6x2+13x+5＝(ax+b)(cx+d)=(ax+1)(cx+5)=
(1x＋1)(6x ＋5),
(6x＋1)(1x ＋5),
(2x＋1)(3x ＋5),
(3x＋1)(2x ＋5),
a=2,c=3のときに、ad+bc=a・5+c・1＝2・5+3・1=13でOK。
6x2+13x+5＝(2x+1)(3x+5)
★因数分解ゲームをしよう！（正数のみ）
★因数分解ゲームをしよう！（負数あり）
★因数分解ゲームをしよう！（たすきがけ）
★ｘｙの式の因数分解をｘに着目してやってみよう！
３．因数分解の着眼点
＜因数分解公式の利用方法＞AB
★次数の低い1文字の式として整理する。
（例）A
「xyz+x2y+xy2+x+y+zの因数分解」
ｚの1次式。
1次の係数は(xy+1)、定数項は(xy+1)(x+y)。
だから、(xy+1)(x+y+z)。
（例）A
「x3+(a+2)x2+(2a+1)x+aの因数分解」
aの1次式。
1次の係数は(x2+2x+1)=(x+1)2、
定数項は(x3+2x2+x)=x(x+1)2。
だから、(x+1)2a+x(x+1)2=(x+a)(x+1)2
（例）A
「6x2-7xy+2y2+3x-y-3の因数分解」
ｘでもｙでも２次式だが、
２次の係数が２のｙで整理するとたすき掛けが楽かも。
2y2-(7x+1)y+6x2+3x-3=2y2+(-7x-1)y+3(2x2+x -1)=2y2+(-7x-1)y+3(2x-1)(x+1)
(2y -(6x-3))(y -(x+1)) ダメ (2y -(2x-1))(y -(3x+3)) ダメ
(2y -(3x+3))(y -(2x−１)) ＝(2y -3x-3)(y -2x+１) =( 3x-2y+3)( 2x-y-１)
★複2次式（2乗の2次式）の定数が平方数なら、 平方完成で2乗をつくる。
１は平方数。
（例）A
「x4-2x2+1の因数分解」
x4-2x2+1
=（x2-1)2=（x+1)2(x-1)2
（例）A
「x4-6x2+1の因数分解」
・次元を下げる置き換えと
平方完成と２乗差が和差積。
x2=Aとすると、
A2-6A+1=A2-2A+1-4A=(A-1)2-(2x)2
(A+2x-1)(A-2x-1)
=(x2+2x-1)(x2-2x-1)
★共通部分をさがして、 共通因数にするか文字で置き換える。
次数下げのため置き換える。
（例）A
「x3-5x2-4x+20の因数分解」
x2(x-5)-22(x-5)
=(x+2)(x-2)(x-5)
（例）A
「(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15の因数分解」
1+7=3+5=8に着目して、
x2+8x=yとおく。
(y+7)(y+15)+15
=y2+22y+120
=(y+10)(y+12)
=(x2+8x+10)(x2+8x+12)
=(x2+8x+10)(x+2)(x+6)
（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）
「a6-b6の因数分解」
a3=A,b3=Bとおくと、
A2-B2
=(A+B)(A-B)
=(a3-b3)(a3+b3)
=(a-b)(a2+ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)
★マイナスカッコでくくる。
-A-B=-(A+B), -A+B=-(A-B)のように２項をくくり共通因数を作る。
（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）
「a3-a-b3+bの因数分解」
a3-b3-(a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2)-(a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2-1)
・文字数がa,b,cのように３文字あっても、
対等な式なら、対称式やサイクリックな因数に分解できる可能性が高い。
1文字整理と共通因数さがしが役立つ。
（例）A
「(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcの因数分解」
aだけを文字とみて整理する。
（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）
「a3+b3+c3-3abcの因数分解」
aだけを文字とみて整理する。
A3+B3=(A+B)3-3AB(A+B)を使う。
４．演習
いろいろな視点で因数分解してみよう。
（例）A
「a2-a-b2＋bの因数分解」
・aについて整理する。
1次の係数は−１、定数項-b2＋b＝-b(b-1) で、-b+(b-1)=-1だから、(a-b)(a+b-1)
・２乗の差とマイナス（）の利用。
a2-b2=(a+b)(a-b)で、-a+b=-(a-b)から、共通因数が(a-b)
（例）A
「x2-y2-z2 +2yzの因数分解」
・ｘについて整理する。
定数項-y2-z2 +2yz＝-(y-z)2, x2-(y-z)2=(x+y-z)(x-y+z)
・ｙについて整理。
2次の係数−1,１次の係数+2z, 定数項x2-z2=(x+z)(x-z),x+z-1(x-z)=2zでたすきがけ。
（-y+x+z)(y+x-z)=(x-y+z)(x+y-z)
（例）A
「x3-3x2-4x+12の因数分解」
・3の倍数項-3x2+12=-3(x2-22)、残りx3-4x=x(x2-22)。(x-3)(x+2)(x-2)
・4の倍数項-4(x-3)、x3-3x2=x2(x-3)。(x2-4)(x-3)=(x+2)(x-2)(x-3)
（例）A
「a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)の因数分解」
・aについて整理する。
２次の係数は(b-c),１次の係数(c2-b2)=-(b-c)(b+c),定数項b2c-bc2=bc(b-c)
共通因数(b-c)以外の係数は２次は１，１次は-(b+c)、
定数はbcだから、(a-b)(a-c)と分解できる。
(b-c)(a-b)(a-c)＝-(a-b)(b-c)(c-a)
最後はa>b>c>aとサイクリックに因数を書き直す。
・置き換え。サイクリックな因数で分解できる予想で、a-b=A,b-c=Bとおく。
A+B＝a-cだから、
a2B+c2A-b2(A+B)=A(c2-b2)+B(a2-b2)=(a-b)(c-b)(c+b)+(b-c)(a-b)(a+b)
=(a-b)(b-c)(-c-b+a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)
（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）
「x3+8y3+6xy-1の因数分解」
・公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)で、
a=x,b=2y, c=-1,-3abc=+6xyとなる。
(x+2y-1)(x2+4y2+1-2xy+2y+x)=(x+2y-1)(x2+4y2-2xy+x+2y+1)
カッコの中を降べきの順に並び替えた。
・公式を忘れても、(x+2y)の因数や、1=13に着目する。
３次の項x3+8y3＝(x+2y)3-3x2y(x+2y)=(x+2y)3-6xy(x+2y)から、
x3+8y3+6xy-1
＝(x+2y)3-6xy(x+2y)+6xy-13
＝(x+2y)3-13-6xy(x+2y-1)
=(x+2y-1)((x+2y)2+(x+2y)+1)-6xy(x+2y-1)=(x+2y-1)(x2+4xy+4y2+x+2y-6xy+1)
=(x+2y-1)(x2+4y2-2xy+x+2y+1)