Modelado de Costos de Producción y Análisis de Volumen - Problemas Verbales de Ballet
1. Función de Costo Lineal: Producción de Tutús Románticos: El taller de vestuario "La Sylphide" confecciona tutús románticos para compañías de ballet. Los costos fijos mensuales del taller (alquiler, mantenimiento de máquinas de coser y seguros) ascienden a 2500 USD. El costo variable por cada tutú (tul, corpiños, hilo y mano de obra directa) es de 85 USD. Escribe la función de costo total CT(x) para la producción de x tutús. ¿Cuál es el costo total si la compañía necesita fabricar un volumen de 40 tutús para la temporada de primavera?
2. Análisis de Costo Promedio (Unitario): Zapatillas de Punta: Una pequeña fábrica artesanal de zapatillas de punta tiene la siguiente función de costo total mensual: CT(x) = 4000 + 35x, donde x es el número de pares de zapatillas fabricados. Determina la función de costo promedio o unitario CMe(x). Calcula el costo promedio por par si se fabrican 100, 200 y 500 pares. ¿Qué demuestra esto sobre la relación entre el volumen de fabricación y el costo unitario en este taller?
3. Punto de Equilibrio: Escenografía para "El Cascanueces": Una compañía de ballet está produciendo "El Cascanueces". Han gastado 18 000 USD en costos fijos de producción (diseño y construcción del Árbol de Navidad gigante y el Reino de los Dulces). Por cada función, tienen un costo variable de 500 USD (técnicos de escenario y limpieza). Si cada función genera ingresos netos de 2300 USD por venta de entradas. Modela las funciones de Costo Total e Ingresos. ¿Cuántas funciones (volumen de operación) deben realizar para alcanzar el punto de equilibrio y cubrir los costos de la escenografía?
4. Economías de Escala (Costos Escalonados): Mallas de Danza: Una fábrica de ropa de danza produce mallas (medias) para academias. Los costos fijos son de 3000 USD. Para los primeros 1000 pares de mallas, el costo variable es de 6 USD por unidad. Sin embargo, si el volumen de fabricación supera las 1000 unidades, compran la lycra al por mayor y el costo variable de las unidades adicionales se reduce a 4.50 USD. Modela la función de costo total por partes. Calcula el costo de producir 800 pares de mallas y compáralo con el costo de producir 1500 pares.
5. Decisión de Hacer o Comprar: Vestuario para un Recital: La academia de ballet "Petipa" necesita 120 trajes para su recital de fin de año. Si compran los trajes a un proveedor externo, el costo es de 75 USD por traje. Si deciden fabricarlos internamente, deben comprar equipos de costura y patrones por un costo fijo de 1800 USD, y los materiales (costo variable) les costarán 45 USD por traje. Plantea los modelos de costos para ambas opciones. ¿A partir de qué volumen de fabricación resulta más económico para la academia hacer los trajes internamente en lugar de comprarlos? ¿Es rentable hacerlo para este recital de 120 alumnas?
6. Función de Costo Cuadrático: Leotardos a Medida: Un taller de alta costura que hace leotardos para solistas experimenta costos marginales crecientes debido a la necesidad de pagar horas extras a sus costureras especializadas cuando aumenta el volumen. Su función de costo total está dada por CT(x) = 800 + 20x + 0.2x^2, donde x es la cantidad de leotardos. ¿Cuál es el costo de fabricar 50 leotardos? Calcula el costo de fabricar el leotardo número 51 (costo marginal) y explica por qué difiere del costo promedio de los primeros 50.
7. Optimización de Utilidades: Barras de Ballet Portátiles: Un carpintero fabrica barras de ballet de madera de fresno portátiles para uso en casa. Sus costos fijos mensuales son de 1200 USD y producir cada barra le cuesta 60 USD. Un estudio de mercado indica que el precio de venta p está relacionado con la cantidad demandada x mediante la ecuación p(x) = 250 - x. Escribe la función de Utilidad U(x) (donde Utilidad = Ingresos - Costos Totales). ¿Qué volumen de fabricación maximiza las ganancias del carpintero?
8. Análisis de Costo Objetivo: Cajas de Resina (Pez): Un proveedor fabrica cajas de resina antideslizante para que los bailarines usen en el escenario. El precio de venta al mercado está fijado y es inamovible a 15 USD por caja. El proveedor quiere alcanzar una ganancia operativa de 5000 USD al mes vendiendo exactamente 1000 cajas. Si sus costos fijos son de 2000 USD. ¿Cuál debe ser el costo variable máximo (costo objetivo) por caja de resina para lograr esta meta financiera con el volumen estipulado?
9. Restricción Presupuestaria de Producción: Cintas y Elásticos: Una mercería teatral fabrica metros de cinta de raso para zapatillas (producto A) y metros de elástico invisible (producto B). Fabricar 100 metros de cinta cuesta 25 USD y fabricar 100 metros de elástico cuesta 15 USD. La fábrica tiene un presupuesto mensual estrictamente limitado a 3000 USD para estos dos productos. Escribe la ecuación de restricción presupuestaria. Si por compromisos con las tiendas de danza deben fabricar al menos un volumen de 8000 metros de cinta, ¿cuál es el volumen máximo de elástico que pueden fabricar sin exceder el presupuesto?
10. Análisis de Margen de Contribución: Clases Magistrales (Masterclasses): Una ex bailarina principal organiza giras de clases magistrales. El alquiler de los grandes estudios en diferentes ciudades y los vuelos representan un costo fijo de 6000 USD por gira. Cada estudiante que asiste recibe un kit (camiseta, certificado, hidratación) que cuesta 20 USD (costo variable). La inscripción por estudiante es de 80 USD. ¿Cuál es el margen de contribución por cada bailarín inscrito? Si la bailarina desea asegurar una ganancia neta de 9000 USD para justificar la gira, ¿cuál es el volumen exacto de estudiantes que necesita inscribir?