Interne Rentabiliteit
Indien de vergelijking slechts één zinvolle oplossing heeft, dan noemt men deze oplossing de interne rentabiliteit IRR [“internal rate of return”] van dit project.
Voor
geldt IRR 15.24% (of 0.1524°/1).
De berekening van deze IRR kan gebeuren via een iteratieve techniek steunend op lineaire interpolatie zoals beschreven als volgt.
Door te experimenteren met verschillende waarden van in zoek je twee waarde en waarvoor respectievelijk en .
Neem hier en :
en
We benaderen de grafiek tussen en door het lijnstuk dat deze twee punten met elkaar verbindt. Het snijpunt van deze rechte met de X-as wordt gevonden door lineaire interpolatie, d.w.z. door de richtingscoëfficiënt van deze rechte te berekenen als via de punten
en
en vervolgens via
en :
d.w.z.
i.e.
of numeriek .
Indien we de berekeningen uitvoeren tot op 7 cijfers na het decimale punt, dan bekomen we terwijl het resultaat van NPV hiervoor tot op 6 cijfers nauwkeurig gelijk is aan .
Door de bovenstaande procedure te hernemen met en i.p.v. met en levert dit de volgende benadering op voor een waarde :
waarbij
Door op een dergelijke wijze iteratief te werk te gaan en telkens twee waarden te nemen met een verschillend teken voor de bijhorende NPV-resultaten, bekom je achtereenvolgens
De iteratie stopt zodra je twee waarden vindt die gelijk zijn (tot op een aantal decimalen), zodat een benadering voor IRR op deze wijze gegeven wordt door 0.152 382 4.
Als andere benaderingstechniek kan je de regel van Newton-Raphson hanteren, waarbij uitgegaan wordt van het snijpunt van de raaklijn in (a, NPV(a)) aan de grafiek van NPV met de X-as om “” te bepalen:
met , waarna met deze wordt verder gewerkt (zoals in Excel tot op 7 decimalen):
IRR 0.152 382 4 15.24%
geldt IRR 15.24% (of 0.1524°/1).
De berekening van deze IRR kan gebeuren via een iteratieve techniek steunend op lineaire interpolatie zoals beschreven als volgt.
Door te experimenteren met verschillende waarden van in zoek je twee waarde en waarvoor respectievelijk en .
Neem hier en :
en
We benaderen de grafiek tussen en door het lijnstuk dat deze twee punten met elkaar verbindt. Het snijpunt van deze rechte met de X-as wordt gevonden door lineaire interpolatie, d.w.z. door de richtingscoëfficiënt van deze rechte te berekenen als via de punten
en
en vervolgens via
en :
d.w.z.
i.e.
of numeriek .
Indien we de berekeningen uitvoeren tot op 7 cijfers na het decimale punt, dan bekomen we terwijl het resultaat van NPV hiervoor tot op 6 cijfers nauwkeurig gelijk is aan .
Door de bovenstaande procedure te hernemen met en i.p.v. met en levert dit de volgende benadering op voor een waarde :
waarbij
Door op een dergelijke wijze iteratief te werk te gaan en telkens twee waarden te nemen met een verschillend teken voor de bijhorende NPV-resultaten, bekom je achtereenvolgens
De iteratie stopt zodra je twee waarden vindt die gelijk zijn (tot op een aantal decimalen), zodat een benadering voor IRR op deze wijze gegeven wordt door 0.152 382 4.
Als andere benaderingstechniek kan je de regel van Newton-Raphson hanteren, waarbij uitgegaan wordt van het snijpunt van de raaklijn in (a, NPV(a)) aan de grafiek van NPV met de X-as om “” te bepalen:
met , waarna met deze wordt verder gewerkt (zoals in Excel tot op 7 decimalen):
IRR 0.152 382 4 15.24%