La Estrella de Belén IV. Composición de poliedros
Esta actividad es continuación de Estelaciones del Dodecaedro Truncado.
Las 20 puntas de la Estrella de Belén están agrupadas de manera que sus vértices están situados sobre los vértices de un dodecaedro y que en cada centro de cinco pirámides triangulares se sitúa una pirámide pentagonal espiral que puede estar en la cara de un dodecaedro.
Descartados los modelos de las estelaciones en los truncamientos del icosaedro, López de Briñas orienta su investigación a una composición de dos poliedros: el icosaedro y el dodecaedro colocados de forma que compartan el centro y la simetría rotacional. Las aristas se cortan en los puntos medios.
Una vez formada esta composición, realizamos la estelación de ambos poliedros con pirámides triangulares y pentagonales. El resultado lo podemos ver en el siguiente applet.
Podemos ver cada uno de los poliedros estrellados por separado utilizando dos deslizadores: uno para el icosaedro y otro para el dodecaedro. Cada uno de ellos admite cuatro posiciones
- El poliedro correspondiente no aparece
- Vemos el icosaedro y el dodecaedro y la composición de los dos poliedros regulares. Cuando los dos están a la vista podemos comprobar que las aristas se cortan en los puntos medios.
- Cada una de las dos estelaciones. Cuando alguna de ellas está activada, aparece también el deslizador que presenta la animación de las pirámides.
- En esta última posición se presenta el dodecaedro (morado) que tiene sus vértices en la estelación del icosaedro y el icosaedro (verde)que tiene los vértices en la estelación del dodecaedro.
En esta composición podemos comprobar que las bases de las pirámides triangulares ya no comparten la arista con las pirámides pentagonales es sino que son las aristas inclinadas de las pirámides de un poliedro las que se intersecan con las del otro.
Los poliedros estrellados resultantes serán el Gran Dodecaedro Estrellado de Kepler en color amarillo y un Dodecaedro Estrellado en rojo.
Bibliografía
López de Briñas, M.Desamparados (2015) Estrellas en la Sagrada Familia de Gaudí: Un contexto nuevo para estudiar poliedros. Comunicación en las XVII Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. FESPM
López de Briñas, M.Desamparados. (2016). Estrellas en la Sagrada Familia. FESPM
La estrella de Belén con Realidad Aumentada en una avenida de Alicante con la Plaça dels Estels al fondo
![Con el código descargas en tu móvil el archivo [b]1305_gaudi_macla.ggb[/b] y abrirlo con la Graficadora 3D para verlo con [b]Realidad Aumentada[/b]](https://beta.geogebra.org/resource/brvdwxug/g6mnqMiieN7QJYHO/material-brvdwxug.png)
Elementos manipulables
- α es el ángulo que gira la figura alrededor de un eje vertical
- r es la altura de las pirámides.
- dod e ico son dos deslizadores que presentan los poliedros y los estrellados. Admiten cuatro posiciones: