４．数の範囲
１.不等式の性質と解法
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜不等式の性質＞A
不等式は同じものを、両辺に対してたしても引いても大小関係は不変。
だから、等式のように移行しても不等号の向きは変わらない。
（例）A
不等式は同じ正数で、両辺に対してかけてもわっても大小関係は不変。
（例）A
不等式は同じ負数で、両辺に対して右辺かけてもわっても、大小関係は反転する。
（例）A
＜不等式の解法＞A
１次方程式のように、移項によって、１次の項と定数項を別の辺にまとめる。
１次方程式１のように１次の項の係数で定数項をわる。
割る数が負数のときは符号の向きを反転させる。
（例）A
2.連立不等式
＜連立不等式＞A
不等式をバラバラに解く。そのあとで、解の範囲の共通部分を不等式で表す。
＝があるときは以上以下になる。数直線では境目の数の位置に●をつける。
＝がないときは、大なりか小なりとなる。数直線では数の位置に◯をつける。
２つの不等号が同じときは、共通部分も同じ向きになる。
２つの不等号の向きが反対のときは、共通部分があれば◯や●の間にはさまれる範囲になる。
（例）A
とならば、
（例）A
とならば、なし
（例）A
と
★解の共有範囲をイメージしよう。
★絶対値の不等式を視覚化してみよう。
３。絶対値と不等号
＜絶対値記号＞A
・絶対値ｘをはずすには、
ｘが非負ならそのままｘ，
ｘが負なら反転ーｘ
（ーｘが正の数を表すので、見かけにまどわされないようにしよう。）
（例）A
「｜ーx｜=5の解」
-xが非負のときは-x=5からｘ＝−５。
-xが負なら-(-x)=5。x=5
（別解）ーｘ＝±５となる。ｘ＝±５。
・絶対値記号をはずすときの記号の中と０の比較式が
絶対値記号をはずしたあとの等式・不等式の解を限定する条件になる。
・絶対値記号のある方程式・不等式のグラフは
絶対値記号の中の式の値が負になる部分をｘ軸に線対称移動して折り返した図形になる。
直線ならば折れ線になる。
（例）A
「｜x-6｜=2xの解」
（x-6が非負）x-6=2xから-6=x。x-6=-6-6=-12が負となり、NG。
（x-6が負）-(x-6)=2x。6-x=2xからx=2。x－6=2-6=-4が負でOK。解はx=2のみ。
(別解)
P=x-6とすると、P=0の解はx=6だから、y1=|P|のグラフはx＝6でy=x-6をｘ軸で折り返した形。
これとy2=2xの交点ｘを求める。傾きはy2がy1よりも急なので、xが6以上では交わらない。
y1のうち、y=x-6のｘ軸で折り返した直線とy2が交わる。y=-(x-6)=2x
2x+(x-6)=0から、交点のx座標はx=2。
（例）A
「|x+2|+|x-1|=5の解」
x+2=A,x-1=Bとおくと、A非負はｘが−２以上と同値、B非負はｘが１以上と同値。
ABともに非負ならｘが１以上のときで、ｘ＋２＋ｘ−１＝５ ２ｘ＝４。ｘ＝２は１以上でOK.
ABともに負ならｘが−２未満でｘ＋２＋ｘ−１＝−５ ２ｘ＝−６。ｘ＝−３は−２未満でOK.
A非負B負ならｘが−２以上１未満でｘ＋２＋１−ｘ＝５は不可。
A負B非負ならーｘ−２＋ｘ−１＝５も不可。
まとめ、ｘ＝２か−３。
（別解）グラフの交点で解く。
y=x+2とy=-(x-1)の交点は(-0.5, 1.5)だから、グラフの和は1.5+1.5=3
y１= |x+2|のグラフとy２=|x-1|のグラフは、y1が非負、y2が負の区間つまり、x=[-2,1]の間で、
(-2+2)-(-2-1)=3から(1+2)-(1-1)=3と一定なので、y=5との交点はない。
それ以外の区間は正と正でy=(x+2)+(x-1)=2x+1か、負と負のy=-(x+2)-(x-1)=-2x-1。
y=5との交点は
2x+1=5からｘ＝2か、-2x-1=5からｘ＝-3。
・絶対値記号の中の式を０との比較で場合わけしたときの場合は排反なので、場合ごとの解は合併する。
共通部分を求めても仕方ない。