La estrella de Belén II. Estelaciones del icosaedro truncado
Primeras hipótesis en búsqueda del poliedro de la Estrella de Belén.
Después de encontrar la red de pentágonos regulares y triángulos equilateros, López de Briñas (2016) determina que está formada por pirámides triangulares y pirámides que ascienden con cinco caras curvadas en espiral a partir de una base pentagonal por lo que debe surgir de alguna forma de dodecaedro. Las pirámides triangulares son 20 y se disponen sobre los vértices del dodecaedro.
Después de descartar otras posibles soluciones, se inclina por el icosaedro truncado o el icosidodecaedro que puede surgir del truncamiento del dodecaedro y también del icosaedro.
Un applet para estudiarlo
Se ha diseñado una construcción con geogebra que realiza progresivamente los truncamientos del icosaedro a la vez que se colocan pirámides sobre las caras que aparecen. Los botones de la parte intermedia nos permiten dos tipos de visión:
- El truncamiento del icosaedro (pulsar Play en el botón del deslizador azul para ver la animación del truncamiento) en todos sus vértices con cortes perpendiculares a los segmentos que unen el centro del poliedro con cada vértice que hace que en los vértices aparezcan pentágonos regulares y en las caras los triángulos del icosaedro se convierten en hexágonos que tienen los lados opuestos paralelos. Se han remarcado dos momentos en el truncamiento: cuando los cortes dan lugar a hexágonos regulares (icosaedro truncado) y también el icosidodecaedro que se obtiene cuando el corte llega al centro del lado de los triángulos iniciales haciendo que el hexágono se convierta en otro triángulo equilátero de lado la mitad.
- La estelación de los poliedros anteriores con pirámides que inicialmente surgen desde el centro del icosaedro y se van dirigiendo progresivamente hacia el exterior (pulsa el play de color marrón para activar la animación que modifica la altura de las pirámides)
López de Briñas descarta otros poliedros por tener caras cuadradas como el Pequeño Rombicosidodecaedro o por tener unas caras mucho mas grandes que otras (Dodecaedro Truncado) y parece inclinarse por la estelación del Icosidodecaedro ya que las 20 pirámides de base triangular rodean a las 20 pirámides de base pentagonal.
El problema de esta figura consiste en que los pentágonos y los triángulos de las bases de las pirámides comparten las aristas de la base, pero en la Estrella no es así ya que las aristas de las pirámides triangulares convergen hacia el centro de la cara pentagonal.
Icosaedro truncado estrellado en Alicante con el Benacantil al fondo
Código QR
Elementos manipulables:
t1 aumenta o disminuye el truncamiento del icosaedro
d modifica la altura de las pirámides desde las que se introducen en el interior del dodecaedro hasta las que se elevan para formar la estrella de la Sagrada Familia
El icosaedro estrellado con el dodecaedro que tiene los vértices en las pirámides de la estrella. Se ha colocado en la calle A. el Sabio de Alicante.
Bibliografía
López de Briñas, M.Desamparados (2015) Estrellas en la Sagrada Familia de Gaudí: Un contexto nuevo para estudiar poliedros. Comunicación en las XVII Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. FESPM
López de Briñas, M.Desamparados. (2016). Estrellas en la Sagrada Familia. FESPM